मान लीजिए $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (जहाँ $\alpha > 0$),तो $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए और $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ सभी $x \in (1, \infty)$ के लिए।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g$,$(1, \infty)$ पर वर्धमान है
$(B)$ $g$,$(1, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(C)$ $g$,$(1,2)$ पर वर्धमान और $(2, \infty)$ पर ह्रासमान है
$(D)$ $g$,$(1,2)$ पर ह्रासमान और $(2, \infty)$ पर वर्धमान है
$2.$ कथनों पर विचार करें:
$P$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : ऐसा कोई $x \in \mathbb{R}$ विद्यमान है कि $2f(x)+1=2x(1+x)$
तब
$(A)$ $P$ और $Q$ दोनों सत्य हैं
$(B)$ $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
$(C)$ $P$ असत्य है और $Q$ सत्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ दोनों असत्य हैं
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. तो $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ किसमें हैं?

निम्नलिखित में से कौन सी असमिकाएँ $TRUE$ (सत्य) हैं?
$(A)$ $\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \frac{3}{8}$
$(B)$ $\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \frac{3}{10}$
$(C)$ $\int_0^1 x^2 \cos x \, dx \geq \frac{1}{2}$
$(D)$ $\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \frac{2}{9}$